《每天读点世界历史》之公理化系统:欧几里得汇总了希腊古典时期的定理

公理化系统:欧几里得汇总了希腊古典时期的定理

欧几里得(Euclid of Alexandria),希腊数学家。约生于公元前330年,约殁于公元前260年。欧几里得是古代希腊最负盛名、最有影响的数学家之一,他是亚历山大里亚学派的成员。

古希腊大数学家欧几里得是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作,两千多年来一直是全世界人民学习数学的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》,从中吸取了丰富的营养,从而作出了许多伟大的成就。

欧几里得一生著有多部数学著作,《几何原本》是其中最有价值的一部。它系统的总结了古代劳动人民在实践中获得的几何知识,把人们公认的一些事实列成定义和公理,以形式逻辑的方法,用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质,从而建立了一套从公理、定义出发,论证命题得到定理得几何学论证方法,形成了一个严密的逻辑体系——几何学。

欧几里得的《几何原本》共有十三卷,其中第一卷讲三角形全等的条件,三角形边和角的大小关系,平行线理论,三角形和多角形等积(面积相等)的条件;第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形;第三卷讲圆;第四卷讨论内接和外切多边形;第六卷讲相似多边形理论;第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术的理论;最后讲述立体几何的内容。

从这些内容可以看出,目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来,人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学,人们把它叫做欧几里得几何学,或简称为欧式几何。

《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系,在这个体系中有四方面主要内容,定义、公理、公设、命题(包括作图和定理)。《几何原本》第一卷列有23个定义,5条公理,5条公设。(其中最后一条公设就是著名的平行公设,或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论,并最终诞生了非欧几何。)

这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。

关于几何论证的方法,欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了,分析这时候成立的条件,由此达到证明的步骤;综合法是从以前证明过的事实开始,逐步导出要证明的事项;归谬法是在保留命题的假设下,否定结论,从结论的反面出发,由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果,从而证实原来命题的结论是正确的,也称作反证法。

欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

从欧几里得发表《几何原本》到现在,已经过去了两千多年,尽管科学技术日新月异,但是欧几里得几何学仍旧是中学生学习数学基础知识的好教材。

由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点,在长期的实践中表明,它已成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处,从而作出了伟大的贡献。

《几何原本》的历史作用,归结到一点,就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题,就是用逻辑的链子由此及彼地展开全部几何学,这项工作,前人未曾做到。

但是,在人类认识的长河中,无论怎样高明的前辈和名家,都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制,欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决,他的理论体系并不是完美无缺的。比如,对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义,这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如,欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念,但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。

《几何原本》最初是手抄本,以后译成了各种文字,它的发行量仅次于《圣经》而位居第二。19世纪初,法国数学家勒让德,把欧几里得的原作,用现代语言写成了几何课本,成为现今通用的几何学教本。中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》(15卷)合译的,定名为《几何原本》,几何的中文名称就是由此而得来的。他们只翻译了前6卷,后9卷由英国人伟烈亚力和中国科学家李善兰在1857年译出。

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